Планковская длина

Планковская длина (обозначаемая ) — фундаментальная единица длины в планковской системе единиц, равная в Международной системе единиц (СИ) примерно 1,6·10−35 метров. Планковская длина — естественная единица длины, поскольку в неё входят только фундаментальные константы: скорость света, постоянная Планка и гравитационная постоянная.

Планковская длина равна:

≈ 1,616 229(38)·10−35м,

где:

  • ħ — постоянная Дирака (h/2π);
  • G — гравитационная постоянная;
  • c — скорость света в вакууме.

Две последние цифры в скобках означают неопределённость (стандартное отклонение) последних двух разрядов.

Примерный радиус наблюдаемой Вселенной (46 миллиардов световых лет или 4,4·1026м) равен 2,7·1061 планковских длин.

С точностью до множителя π, планковская масса равна массе чёрной дыры, радиус Шварцшильда которой равен её комптоновской длине волны. Радиус такой чёрной дыры будет по порядку величины равен планковской длине.

Простой анализ размерностей показывает, что измерение положения физических объектов с точностью до планковской длины проблематично. Действительно, проведём следующий мысленный эксперимент. Допустим, мы хотим определить положение объекта и посылаем на него поток электромагнитного излучения, то есть фотоны. Чем больше энергия фотонов, тем короче их длина волны и тем более точным будет измерение. Если бы фотон имел энергию, достаточную для измерения объектов размером с планковскую длину, то при взаимодействии с измеряемым объектом он сколлапсировал бы в микроскопическую чёрную дыру и провести измерение было бы невозможно. Таким образом, планковская длина накладывает фундаментальные ограничения на точность измерения длины.

Этот мысленный эксперимент использует как общую теорию относительности, так и принцип неопределённости квантовой механики. Обе теории предсказывают, что невозможно измерение с точностью, которая превосходит планковскую длину. Таким образом, в любой теории квантовой гравитации, комбинирующей общую теорию относительности и квантовую механику, традиционное представление о пространстве и времени неприменимо на расстояниях меньше планковской длины или для промежутков времени меньше, чем планковское время.

Согласно теории струн, дополнительные 6 (или 7) измерений свёрнуты до размеров планковской длины и поэтому экспериментально не могут быть обнаружены.

    Планковская длина и евклидова геометрия

    Гравитационное поле совершает нулевые колебания и связанная с ним геометрия тоже колеблется. Отношение длины окружности к радиусу колеблется около евклидова значения; чем меньше масштаб, тем большими становятся отклонения от евклидовой геометрии. Оценим порядок длины волны нулевых гравитационных колебаний, при которой геометрия становится совсем не похожей на евклидову. Степень отклонения геометрии от евклидовой в гравитационном поле определяется отношением гравитационного потенциала и квадрата скорости света  : . Когда , геометрия близка к евклидовой; при всякое сходство исчезает. Энергия колебания масштаба равна ( — порядок частоты колебаний). Гравитационный потенциал, создаваемый массой , на такой длине есть , где  — постоянная всемирного тяготения. Вместо следует подставить массу, которой согласно формуле Эйнштейна соответствует энергия (). Получаем . Разделив это выражение на , получим величину отклонения . Приравняв , найдем ту длину, на которой полностью искажается евклидова геометрия. Она равна планковской длине м.

    Связь комптоновской длины волны с радиусом Шварцшильда

    Частица массой имеет приведённую комптоновскую длину волны

    С другой стороны радиус Шварцшильда той же частицы равен

    Произведение этих величин всегда постоянно и равно

    Соответственно, соотношение неопределенностей между радиусом Шварцшильда частицы и комптоновской длиной волны частицы будет иметь вид

    что является другой формой соотношения неопределенностей Гейзенберга на планковском масштабе. Действительно, подставляя сюда выражение для радиуса Шварцшильда, получим

    Сокращая одинаковые константы, приходим к соотношению неопределенностей Гейзенберга

    Соотношение неопределенностей между гравитационным радиусом и комптоновской длиной волны частицы является частным случаем общего соотношения неопределенностей Гейзенберга на планковском масштабе

    где  — компонента радиуса кривизны малой области пространства-времени;  — координата малой области.

    Отсюда следует, что планковская длина является пределом расстояния, меньше которого сами понятия пространства и длины перестают существовать. Любая попытка исследовать существование более коротких расстояний (меньше, чем 1,6·10−35 метров), осуществляя столкновения при более высоких энергиях, неизбежно закончилась бы рождением черной дыры. Столкновения при больших энергиях, вместо того, чтобы дробить вещество на более мелкие кусочки, приведут к рождению черных дыр все большего размера. Уменьшение комптоновской длины волны частицы приведет к увеличению радиуса Шваршильда чёрной дыры. Соотношение неопределенностей между радиусом Шварцшильда и комптоновской длиной волны порождает на планковском масштабе виртуальные черные дыры.

    Квантование пространства и планковская длина

    Невозможность оценить происходящее на величинах менее планковской, а также гипотеза о квантовании пространства на пути объединения квантовой механики и общей теории относительности привели к предположению о том, что размер зерна пространства и, как следствие, минимально возможная длина в природе и есть планковская длина. Несмотря на то что, как сказано выше, экспериментальное исследование более коротких расстояний затруднено, оценить предположительный размер зерна пространства оказывается все-таки возможно.

    Степень влияния квантования пространства на проходящий свет зависит в том числе от размеров самого зерна. Для исследования необходимо интенсивное излучение, прошедшее как можно большее расстояние. В настоящее время группа ученых воспользовалась данными съёмки гамма-вспышки GRB 041219A, осуществленной с европейского космического телескопа Integral. GRB 041219A вошла в 1% самых ярких гамма-вспышек за весь период наблюдения, а расстояние до ее источника не менее 300 миллионов световых лет. Наблюдение «Интеграла» позволило оценить размер зерна на несколько порядков точнее, чем все предыдущие опыты такого плана. Анализ данных показал — если зернистость пространства вообще существует, то она должна быть на уровне 10-48 метров или меньше

    С современной точки зрения гипотеза о квантовании пространства-времени является неудовлетворительной. В действительности из уравнений Эйнштейна, как было показано, следует квантование кривизны пространства-времени. В соответствии с этим дисперсия световых лучей от удаленных галактик определяется не планковской длиной, а ее квадратом, поэтому флуктуации скорости света будут неизмеримо малы даже на межгалактических расстояниях.

    См. также

    • Планковская эпоха
    • Планковские единицы
    • Петлевая квантовая гравитация
    • Теория струн
    • Цифровая физика

    Примечания

    Литература

    • Max Camenzind. Compact Objects in Astrophysics: White Dwarfs, Neutron Stars and Black Holes. — Springer Science & Business Media, 2007. — P. 588. — 706 p. — ISBN 3540499121, 9783540499121.

    Ссылки

    • Космологическое начало мира. Изменяются ли мировые постоянные?
    0.042112